Sabtu, 11 Februari 2012

TRANSFORMASI LINIER


  BAB   IV
 TRANSFORMASI  LINIER

4.1 PENGANTAR
Definisi 4.1 :
      Jika T  : V ®  W  adalah sebuah fungsi dari ruang  vector V ke ruang vector W maka T dinamakan transformasi linier bila :
                        a. T  (U+V) = T(U) + T(V),  " U,V є V
                        b. T   (kU) = k T(U), " U є V, k scalar
Contoh 4.1:
Tentukan apakah T merupakan transformasi linier jika T   : R2 à R2, dimana :
      1. T (X) = (2x1, x2) , x є R2
      2. T (X) = (x1 + 1,  x2), x є R2
J a w a b :
      X = (x1, x2) =   ;  Y = (y1, y2) =   ;         X + Y =
      kX =
1.   T(X) =    ;    T(Y) =
     a).  T (X + Y) =
          =, sehingga T (X+Y) = T(X) + T(Y)
      b).  T (kX) =  =
Jadi T adalah transformasi linier.
2.   T(X) =    ,   T(Y) =
      a).  T (X + Y) =
T (X + Y) =  = + T(Y)
Jadi T(X + Y) ≠ T(X) + T(Y), karena , sehingga T bukan transformasi linier.
4.2      TRANSFORMASI LINIER
Theorema 4.1 :
Jika T  : V ®  W  adalah suatu transformasi linier maka :
            a). T(0) = 0
            b). T(-v) = - T(v), v є V
      c). T(v – w) = T(v) – T(w),  v, w є V
Definisi 4.2 :
1.      Jika T  : V ®  W  adalah suatu transformasi linier maka :
Ker (T) = { v | v є V,  T (v) = 0 } disebut ruang nol (kernel) dari T
2.      Jika T  : V ®  W adalah suatu transformasi linier maka :
R(T) = {w | w = T (v), v є V } disebut ruang peta/bayangan/ jangkauan dari T.
Contoh 4.2 :
Transformasi linier T   : R2  ®  R3  didefinisikan sebagai berikut : T(X) = (x1, x2, 0)
Tentukan Ker (T).
J a w a b :
, sehingga :
 = (0, 0, x3)
Theorema 4.2 :
Jika  T   : V® W  adalah suatu trnsformasi linier maka :
1.      Ker (T) atau kernel dari T adalah merupakan sub ruang dari V.
2.      Jangkauan dari T atau R (T) adalah merupakan sub ruang dari W.
Latihan Soal :
Tentukan apakah T merupakan suatu transformasi linier jika :
1.     
2.     
3.      , dimana T : R2® R2.
4.       ,  dimana T : R3® R2.
5.      .
6.     
Misalkan T   : R4  ®  R3 yang didefinisikan sbb :
7.      Diantara ketiga vector berikut manakah yang merupakan anggota dari R(T) :
                 
8.      Diantara vector berikut manakah yang merupakan anggota dari ker (T) :
                             
4.3  MATRIKS  BAKU
Definisi 4.3 :
Jika T   : Rn ®  Rm  adalah trnsformasi linier dan e1, e2, e3,……………,en adalah basis baku di Rn maka matriks baku A untuk T adalah suatu matriks yang kolom-kolomnya adalah T(e1). T(e2),……………,T(en).
Contoh 4.3 :
Cari matrik baku A jika T:R3 ® R4 yang didefinisikan
J a w a b :
   ;  
   ;  
Jadi matriks baku A = [ T(e1), T(e2), T(e3) ], yaitu
Theorema 4.3 :
Jika x  elemen Rn dan T suatu transformasi linier dari  Rn® Rm  dengan A suatu matriks baku untuk T maka berlaku T(X) = AX .
B u k t i :
Misal
        = x1T(e1) + x2T(e2) + x3T(e3) + ……………….+ xnT(en)
        = [ T(e1) + T(e2) + T(e3) + ……………….+ T(en) ]
T(X) = A.X
Seperti soal diatas maka T(X) = AX adalah :
     
Contoh 4.4 :
Transformasi linier T   : R2  ®   R2 dimana :  (1, 2) ® (4, 1)  dan  (-2, 1) → (2, -7)
a). Tentukan matriks bakunya
b). Tentukan rumus T(X)
J a w a b :
a).       
    
                                                                                5 T(e1) = (0, 15)
                                                                                   T(e1) = (0, 3)
Dari : T(e1) + 2T(e2) = (4, 1) , maka    (0, 3) + 2T(e2) = (4, 1)
                                                             2T(e2) = (4, 1) – (0, 3)
                                                             2T(e2) = (4, -2)
                                                              T(e2) = (2, -1)
Jadi matriks bakunya adalah :
b).        T(X) = AX
Contoh 4.5 :
T : R2 ®  R2 adalah suatu transformasi linier yang memetakan setiap titik kedalam bayangan simetriknya terhadap sumbu Y. Tentukan matriks baku untuk T tersebut ?
J a w a b  :
Jadi matriks bakunya :
Suatu transformasi T : Rn  ®  Rm dengan matriks baku A yang berordo nxn maka :
1.      Kernel dari T adalah X = (x1, x2, x3,……………..,xn) yang merupakan vector penyelesaian dari SPL homogen AX = 0.
2.      Jangkauan dari T adalah b = (b1, b2, b3,……………,bn) sedemikian sehingga AX = b konsisten.
Definisi 4.4 :
Jika  T   : V ®  W adalah suatu transformasi linier maka :
1.      Dimensi Ker (T) dinamakan Nulitas T.
2.      Dimensi R (T) dinamakan Rang T.
Teorema 4.4 :
Jika T   : V ®  W adalah suatu transformasi linier dari ruang vector V yang berdimensi n ke ruang vektoe W maka,  Nulitas T + Rang T = n
Keterangan :
Telah dibuktikan T (X) = AX, sehingga rang T = rang A atau dengan perkataan lain bahwa dimensi R (T) = dimensi matriks baku A.
Theorema 4.5 :
Jika A adalah matriks baku suatu transformasi linier T yang berordo nxn maka dimensi ker T yaitu dimensi ruang penyelesian AX = 0 adalah ( n – rang A)
Contoh 4.6 :
Suatu transformasi linier T : R3® R3 , yang didefinisikan sbb :
Tentukan :       a). Matriks baku A,     b). Dimensi R (T),       c). Basis R (T)
   d. Dimensi Ker (T),     e). Basis Ker (T)
J a w a b :
a).
     
     
     
Jadi matriks baku
b).  Dimensi R(T) = Dimensi matriks baku A, yaitu :
     
Karena baris I dan II tidak berkelipatan maka rang A = 2 sehingga rank T atau dimensi jangkauan T = 2
c). Basis R(T) = { (1, 2, -1), (0, 1, 1) }
d). Dimensi Ker (T) Karena n = 3, maka dimensi Ker (T) yaitu Nulitas T = n - rank T
Nulitas T = n – rank T
Ker (T) = 3 – 2, jadi dimensi Ker (T) = 1
e). Basis Ker  (T) dicari sbb :
Kemudian diselesaikan X melalui matriks baku A.
Setelah di OBE dihasilkan matriks A sbb :
karena rank A = 2 maka ada satu paranmeter, Misal parameter yang diambil :
x1 + x2 – x3 = 0                          …………(1)
x2 + x3 = 0                                 …………(2)
Dari persamaan (2),  diperoleh x2 = -x3
Dari persamaan (1),  diperoleh x1 = x3 – 2x2
Ambil x3 = λ maka diperoleh : x2 = -λ dan x1 = λ – 2 (-λ) atau x1 = 3λ
Jadi X dengan λ sembarang.
Sehingga basis Ker(T) = {(3, -1, 1)}
4.4  MATRIKS  TRANSFORMASI  LINIER
Jika T : V® W adalah sembarang transformasi linier dimana V adalah ruang vector berdimensi n dengan basis B = { U1, U2, …………………,Un} dan W adalah ruang vector berdimensi m dengan basis B’ = {v1, v2, v3,………………….,vm} maka T(U1), T(U2),…………….,T(Un) adalah vektor0vektor dalam W yang merupakan kombinasi linier {V1, V2, V3,……………………..Vm} yaitu :

.                       .           .                                                     .
.                       .           .                                                     .

atau :
dimana  adalah matriks transformasi yang relative terhadap basis B dan B’ dan kolom-kolom matriks tersebut adalah merupakan matriks koordinat dari T(U1), T(U2),………………., T(Un) yang relative terhadap basis B’, jadi :


Jika T : V ®  V maka ini berarti basis B = B’ sehingga matriks T atau [T]B.B’ dinamakan matriks transformasi yang relative terhadap basis B dan dinyatakan dengan [T]B sehingga
                 
                 
Contoh 4.7 :
Misal  T  : R2  ®  R2  adalah transformasi linier yang didefinisikan sebagai berikut :
 
Cari matriks transformasi [T] yang relative terhadap basis B = {U1, U2} dimana
a).  U1 = (1, 0), U2 = (0, 1)      b).  U1 = (1, 1), U2 = (1, 2)
J a  w a b :
a).        T(U1) =
T(U2) =
b).        T(U1) =
T(U2) =
Contoh 4.8 :
Misal T : R2® R3 merupakan transformasi linier yang didefinisikan sbb :
Cari matriks transformsi [T] yang relative terhadap basis B = {U1, U2} dengan U1= (3, 1) dan U2 = (5, 2) dan B’ = {v1, v2, v3} dengan  V1= (1, 0, -1)  ,  V2= (-1, 2, 3)  ,  V3= (0, 1, 2)
J a w a b :
T :  R2      R3
           
           
Kemudian nyatakan T (U1) dan T (U2)  sebagai kombinasi linier dari basis B’ sbb :
,  sehingga
,    sehingga
Dengan eliminasi gauss Jordan untuk mencari k dan l adalah sebagai berikut :
    Jadi k1 =1  ,  k2 = 0  ,  k3 =  -2  dan  l1 = 3, l2 = 1, l3 = -1
sehingga : Jadi:

4.5  KESERUPAAN  (SIMILARITAS)
Teorema 4.6 :
Misalkan T : V → V adalah transformasi linier pada ruang vector V yang berdimensi berhingga. Jika A adalah matriks baku untuk I yang relative terhadap basis B dan A’ adalah matriks baku untuk T yang relative terhadap basis B’ maka A’ = P-1.AP, dimana p adalah matriks transisi dari B’ ke B.
Karena A adalah matriks baku untuk T yang relative terhadap basis B maka :
T(X) = AX, "X Є V, yang diberi notasi sbb :
dengan diagram :                                                                     ……….(1)
Demikian pula dengan matriks baku A’ yang relative terhadap basis B’
maka : 
dengan diagram :                                                                   ……….(2)
Jika p adalah matriks transisi dari  basis B’ ke B maka p-1 adalah matriks transisi dari basis B ke B’, sehingga :
     dan    
dengan diagram :
                                                        ………(3)
                        dan                                                             ……….(4)
Dari diagram (1), (2), (3) dan (4) diatas, maka dapat diringkas sbb : 
                                   
Dari diagram diatas maka untuk mendapatkan matriks  dari matriks  terdapat 2 jalan yaitu :                        1.   dan 
2.
Dari kedua persamaan tersebut berarti :
Contoh 4.9:
T : R2 → R2, yang didefinisikan sebagai berikut :
Tentukan :
a). Matriks baku A untuk T yang relative terhadap basis baku B = {e1, e2} dengan
     e1 = (1, 0) dan e2 = (0, 1)
b). Matriks baku A’ untk T yang relative terhadap basis B’ = {U1, U2}
      dengan U1 = (1, 1)   dan   U2 = (1, 2)
J a w a b :
a).       
   
Jadi matriks baku A untuk T relative terhadap B adalah :   
   
b). Akan dicari p (matrik transisi) dari B’ ke B dengan B’ = {U1, U2} dan B = {e1, e2} sbb :         
Dari :    maka,
                                               
Jadi k1 = 1 dan k2 = 1 sehingga
Dari :  maka,
Jadi k3 = 1 dan k4 = 2,   sehingga
Jadi P , sehingga P-1 adalah
Jadi
Menurut teorema A1 untuk T relative terhadap B’ adalah

Jika A dan B adalah matriks kuadrat maka B serupa (similar) dengan A bila terdapat matriks p yang dapat dibalik sehingga B = P-1AP
Keserupaan (similaritas) adalah merupakan relasi ekivalen yaitu :
a.       A serupa dengan A, karena A = I-1 AI
b.      Jika A serupa dengan B maka B serupa dengan A, karena A = P-1BP
      A.P-1 = (P-1BP)P-1                   (dikalikan p-1)
      A.P-1 = P-1 B I
      A.P-1 = P-1.B
      P(A.P-1) = P-1 BP                   (dikalikan p)
      P A P-1 = IB
      P A P-1 = B
c.       Jika A serupa dengan B dan b serupa dengan C maka A serupa dengan C, karena :
Misal ambil Qp = R → = R-1 Ì R
Jadi A = R-1 Ì R


Soal Latihan
1.                  Carilah matrik bakunya
a.       T=
b.      T =
2.                  Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 à R2 yang memetakan titik (x,y) ke dalam :
(a).   Refleksi terhadap garis y = -x
(b).   Refleksi melalui titk pusat
(c).   Proyeksi ortogonal pada sumbu x
(d).   Proyeksi ortogonal pada sumbu y
3.                  Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1), dan (1,1) di bawah perkalian oleh   A =
4.         Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh A =
5.         Diketahui T  :  R3  ®  R3  dimana            [1,0,0]  ®  [2,1]
                                                                                    [0,1,0]  ®  [5,-4]
                                                                                    [0,0,1]  ®  [-3,7]
            Ditanya :
(i)         Matriks transformasi relatif terhadap basis-basis natural dari R3 dan R2.
(ii)        Matriks transformasi relatif terhadap basis
         {f1  =  [1,1,1], f2  =  [1,1,0], f3  =  [1,0,0]} dari R3 dan basis {g1  =  [1,3],
         g2  =  [2,5]} dari R2
(iii)       Tentukan peta vektor v  =  [2,1,1] sebelum dan sesudah pergantian basis.


Cinta, betapun jahatnya pernah mempesonakan manusia
 sebagai hadiah yang tidak mudah hilang (Anton Chekov)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar