BAB IV
TRANSFORMASI LINIER
4.1 PENGANTAR
Definisi 4.1 :
Jika T : V ® W adalah sebuah fungsi
dari ruang vector V ke ruang vector W
maka T dinamakan transformasi linier bila :
a. T (U+V) = T(U) + T(V), " U,V є V
b. T (kU) = k T(U), " U є V, k scalar
Contoh 4.1:
Tentukan apakah T
merupakan transformasi linier jika T :
R2 à R2,
dimana :
1. T (X) = (2x1, x2) , x є R2
2. T (X) = (x1 + 1,
x2), x є R2
J a w a b :
X = (x1,
x2) = ; Y =
(y1, y2) = ; X + Y =
kX =
1. T(X) = ; T(Y) =
a). T (X + Y) =
=, sehingga T
(X+Y) = T(X) + T(Y)
b). T (kX) = =
Jadi T adalah
transformasi linier.
2. T(X) = , T(Y)
=
a). T (X + Y) =
T (X + Y) = = + T(Y)
Jadi T(X + Y) ≠
T(X) + T(Y), karena , sehingga T
bukan transformasi linier.
4.2
TRANSFORMASI
LINIER
Theorema 4.1 :
Jika T : V ® W adalah suatu transformasi linier maka :
a). T(0) = 0
b).
T(-v) = - T(v), v є V
c).
T(v – w) = T(v) – T(w), v, w є V
Definisi 4.2 :
1. Jika T
: V ® W adalah suatu transformasi linier maka :
Ker (T) = { v | v є V, T (v) = 0 } disebut ruang nol (kernel) dari T
2. Jika T
: V ® W adalah suatu transformasi linier maka :
R(T) = {w | w = T (v),
v є V } disebut ruang
peta/bayangan/ jangkauan dari T.
Contoh 4.2 :
Transformasi
linier T :
R2 ® R3 didefinisikan sebagai berikut : T(X) = (x1,
x2, 0)
Tentukan Ker (T).
J a w a b :
, sehingga :
= (0, 0, x3)
Theorema 4.2 :
Jika T : V® W adalah suatu
trnsformasi linier maka :
1.
Ker (T) atau kernel dari T
adalah merupakan sub ruang dari V.
2.
Jangkauan dari T atau R (T)
adalah merupakan sub ruang dari W.
Latihan Soal :
Tentukan apakah T merupakan suatu
transformasi linier jika :
1.
2.
3.
, dimana T : R2® R2.
4.
, dimana T : R3® R2.
5.
.
6.
Misalkan T : R4
® R3 yang didefinisikan sbb :
7. Diantara ketiga vector berikut manakah
yang merupakan anggota dari R(T) :
8. Diantara vector berikut manakah yang
merupakan anggota dari ker (T) :
4.3
MATRIKS BAKU
Definisi 4.3 :
Jika T : Rn ® Rm adalah trnsformasi linier dan e1, e2,
e3,……………,en adalah basis baku
di Rn maka matriks baku
A untuk T adalah suatu matriks yang kolom-kolomnya adalah T(e1). T(e2),……………,T(en).
Contoh 4.3 :
Cari matrik baku A
jika T:R3 ® R4 yang didefinisikan
J a w a b :
;
;
Jadi matriks baku A =
[ T(e1), T(e2), T(e3) ], yaitu
Theorema 4.3 :
Jika x elemen Rn dan T suatu transformasi
linier dari Rn® Rm dengan A suatu matriks baku untuk T maka
berlaku T(X) = AX .
B u k t i :
Misal
=
x1T(e1) + x2T(e2) + x3T(e3)
+ ……………….+ xnT(en)
= [ T(e1) + T(e2) + T(e3) +
……………….+ T(en) ]
T(X) = A.X
Seperti soal diatas maka T(X) = AX adalah :
Contoh 4.4 :
Transformasi
linier T : R2
® R2
dimana : (1, 2) ® (4, 1)
dan (-2, 1) → (2, -7)
a). Tentukan matriks bakunya
b). Tentukan rumus T(X)
J a w a b :
a).
5 T(e1) =
(0, 15)
T(e1) = (0, 3)
Dari : T(e1)
+ 2T(e2) = (4, 1) , maka (0,
3) + 2T(e2) = (4, 1)
2T(e2) = (4, 1) – (0,
3)
2T(e2) = (4, -2)
T(e2) = (2, -1)
Jadi matriks
bakunya adalah :
b). T(X)
= AX
Contoh 4.5 :
T : R2 ® R2 adalah suatu transformasi linier
yang memetakan setiap titik kedalam bayangan simetriknya terhadap sumbu Y.
Tentukan matriks baku
untuk T tersebut ?
J a w a b :
Jadi matriks bakunya :
Suatu transformasi T : Rn ® Rm dengan matriks
baku A yang
berordo nxn maka :
1.
Kernel dari T adalah X = (x1,
x2, x3,……………..,xn) yang merupakan vector
penyelesaian dari SPL homogen AX = 0.
2.
Jangkauan dari T adalah b = (b1,
b2, b3,……………,bn) sedemikian sehingga AX = b
konsisten.
Definisi 4.4 :
Jika T : V ® W adalah suatu transformasi linier
maka :
1.
Dimensi Ker (T) dinamakan
Nulitas T.
2.
Dimensi R (T) dinamakan Rang T.
Teorema 4.4 :
Jika T
: V ® W adalah suatu transformasi linier dari ruang
vector V yang berdimensi n ke ruang vektoe W maka, Nulitas T + Rang T = n
Keterangan :
Telah dibuktikan T (X) = AX, sehingga rang T
= rang A atau dengan perkataan lain bahwa dimensi R (T) = dimensi matriks baku A.
Theorema 4.5 :
Jika A adalah matriks baku suatu transformasi linier T yang berordo
nxn maka dimensi ker T yaitu dimensi ruang penyelesian AX = 0 adalah ( n – rang
A)
Contoh 4.6 :
Suatu transformasi linier T : R3® R3 , yang didefinisikan sbb :
Tentukan : a).
Matriks baku A,
b). Dimensi R (T), c). Basis R (T)
d. Dimensi Ker (T), e). Basis Ker (T)
J a w a b :
a).
Jadi matriks baku
b). Dimensi
R(T) = Dimensi matriks baku
A, yaitu :
Karena baris I dan II tidak berkelipatan
maka rang A = 2 sehingga rank T atau dimensi jangkauan T = 2
c). Basis R(T) = { (1, 2, -1), (0, 1, 1) }
d). Dimensi Ker (T) Karena n = 3, maka
dimensi Ker (T) yaitu Nulitas T = n - rank T
Nulitas T = n – rank T
Ker (T) = 3 – 2, jadi dimensi Ker (T) = 1
e). Basis Ker (T) dicari sbb :
Kemudian diselesaikan X melalui matriks baku A.
Setelah di OBE dihasilkan matriks A sbb :
karena rank A = 2 maka ada satu
paranmeter, Misal parameter yang diambil :
x1 + x2 – x3 =
0 …………(1)
x2 + x3 = 0 …………(2)
Dari persamaan (2), diperoleh x2 = -x3
Dari persamaan (1), diperoleh x1 = x3 – 2x2
Ambil x3 = λ maka diperoleh : x2 = -λ dan x1
= λ –
2 (-λ) atau x1 = 3λ
Jadi X dengan λ sembarang.
Sehingga basis Ker(T) = {(3, -1, 1)}
4.4
MATRIKS TRANSFORMASI LINIER
Jika T : V® W adalah sembarang transformasi linier dimana V adalah ruang vector
berdimensi n dengan basis B = { U1, U2, …………………,Un}
dan W adalah ruang vector berdimensi m dengan basis B’ = {v1, v2,
v3,………………….,vm} maka T(U1), T(U2),…………….,T(Un)
adalah vektor0vektor dalam W yang merupakan kombinasi linier {V1, V2,
V3,……………………..Vm} yaitu :
. . . .
. . . .
atau :
dimana adalah matriks transformasi yang relative terhadap basis B dan B’ dan kolom-kolom matriks tersebut
adalah merupakan matriks koordinat dari T(U1), T(U2),……………….,
T(Un) yang relative terhadap basis B’, jadi :
Jika T : V ® V maka ini berarti
basis B = B’ sehingga matriks T atau [T]B.B’ dinamakan matriks
transformasi yang relative terhadap basis B dan dinyatakan dengan [T]B
sehingga
Contoh 4.7 :
Misal T : R2
® R2 adalah transformasi linier yang didefinisikan
sebagai berikut :
Cari matriks transformasi [T] yang
relative terhadap basis B = {U1, U2} dimana
a). U1 = (1, 0), U2 = (0,
1) b). U1 = (1, 1), U2 = (1,
2)
J a
w a b :
a). T(U1) =
T(U2) =
b). T(U1) =
T(U2) =
Contoh 4.8 :
Misal T : R2® R3
merupakan transformasi linier yang didefinisikan sbb :
Cari matriks transformsi [T] yang relative terhadap basis B = {U1,
U2} dengan U1= (3, 1) dan U2 = (5, 2) dan B’ =
{v1, v2, v3} dengan V1= (1, 0, -1) , V2=
(-1, 2, 3) , V3= (0, 1, 2)
J a w a b :
T
: R2 → R3
Kemudian
nyatakan T (U1) dan T (U2) sebagai kombinasi linier dari basis B’ sbb :
, sehingga
, sehingga
Dengan
eliminasi gauss Jordan
untuk mencari k dan l adalah sebagai berikut :
Jadi k1 =1 , k2
= 0 , k3 = -2 dan
l1 = 3, l2 = 1, l3
= -1
sehingga : Jadi:
4.5
KESERUPAAN (SIMILARITAS)
Teorema 4.6 :
Misalkan T : V → V adalah transformasi
linier pada ruang vector V yang berdimensi berhingga. Jika A adalah matriks
baku untuk I yang relative terhadap basis B dan A’ adalah matriks baku untuk T
yang relative terhadap basis B’ maka A’ = P-1.AP, dimana p adalah
matriks transisi dari B’ ke B.
Karena A adalah matriks baku untuk T yang
relative terhadap basis B maka :
T(X) = AX, "X Є V, yang diberi notasi sbb :
dengan diagram : ……….(1)
Demikian pula dengan matriks baku A’ yang
relative terhadap basis B’
maka :
dengan diagram : ……….(2)
Jika p adalah matriks transisi dari basis B’ ke B maka p-1 adalah
matriks transisi dari basis B ke B’, sehingga :
dan
dengan diagram :
………(3)
dan ……….(4)
Dari diagram (1), (2), (3) dan (4) diatas, maka dapat diringkas sbb
:
Dari diagram diatas maka untuk mendapatkan
matriks dari matriks terdapat 2 jalan yaitu : 1.
dan
2.
Dari kedua persamaan tersebut berarti :
Contoh 4.9:
T : R2 → R2, yang didefinisikan sebagai
berikut :
Tentukan :
a). Matriks baku A untuk T yang
relative terhadap basis baku
B = {e1, e2} dengan
e1 = (1, 0)
dan e2 = (0, 1)
b). Matriks baku
A’ untk T yang relative terhadap basis B’ = {U1, U2}
dengan U1 = (1, 1) dan U2 = (1, 2)
J a w a b :
a).
Jadi matriks baku
A untuk T relative terhadap B adalah :
b). Akan dicari p (matrik transisi) dari B’ ke B dengan B’ = {U1, U2}
dan B = {e1, e2} sbb :
Dari
: maka,
Jadi k1 = 1 dan k2 = 1 sehingga
Dari
: maka,
Jadi k3 = 1 dan k4 = 2, sehingga
Jadi
P , sehingga P-1 adalah
Jadi
Menurut
teorema A1 untuk T relative terhadap B’ adalah
Jika A dan B adalah matriks kuadrat maka B serupa (similar) dengan A
bila terdapat matriks p yang dapat dibalik sehingga B = P-1AP
Keserupaan (similaritas) adalah merupakan
relasi ekivalen yaitu :
a.
A serupa dengan A, karena A = I-1
AI
b. Jika A serupa dengan B maka B serupa
dengan A, karena A = P-1BP
A.P-1 = (P-1BP)P-1 (dikalikan p-1)
A.P-1 =
P-1 B I
A.P-1
= P-1.B
P(A.P-1)
= P-1 BP (dikalikan
p)
P
A P-1 = IB
P
A P-1 = B
c. Jika A serupa dengan B dan b serupa dengan
C maka A serupa dengan C, karena :
Misal ambil Qp = R → = R-1 Ì R
Jadi A = R-1 Ì R
Soal Latihan
1.
Carilah matrik bakunya
a.
T=
b.
T =
2.
Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 à R2 yang memetakan titik (x,y) ke dalam :
(a).
Refleksi terhadap garis y = -x
(b).
Refleksi melalui titk pusat
(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x
(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y
3.
Gambarkan
bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1), dan (1,1)
di bawah perkalian oleh A =
4. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah
perkalian oleh A =
5. Diketahui T
: R3 ® R3 dimana [1,0,0] ® [2,1]
[0,1,0] ®
[5,-4]
[0,0,1] ® [-3,7]
Ditanya :
(i) Matriks
transformasi relatif terhadap basis-basis natural dari R3 dan R2.
(ii) Matriks
transformasi relatif terhadap basis
{f1 =
[1,1,1], f2 = [1,1,0], f3 =
[1,0,0]} dari R3 dan basis {g1 =
[1,3],
g2 =
[2,5]} dari R2
(iii) Tentukan peta vektor v =
[2,1,1] sebelum dan sesudah pergantian basis.
Cinta, betapun jahatnya pernah mempesonakan manusia
sebagai hadiah
yang tidak mudah hilang (Anton Chekov)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar